„10 EIER, BITTE!“ – ÜBER DAS BINÄRE ZAHLENSYSTEM

binärzahlen

Ob am Handy, am Taschenrechner oder am Computer – Überall rechnet man im binären Zahlensystem, aber was ist das überhaupt?
Sagt eine Frau zu ihrem Gatten, der Programmierer ist: „Könntest du bitte Einkaufen fahren und 10 Eier mitnehmen?“ Ihr Gemahl zückt sogleich den Stift und notiert sich den Auftrag. Kurze Zeit später kommt der Programmierer wieder nach Hause und trägt stolz ein Ei in jeder Hand
Es macht nichts, diesen Witz nicht zu verstehen. Als Einleitung ist er jedoch gut geeignet, denn er spielt auf das binäre (oder auch duale) Zahlensystem an. Diesen Begriff hat man vielleicht schon mal gehört, kann aber nichts damit anfangen. Es ist aber schnell erklärt: Im Wesentlichen ist das binäre Zahlensystem ein Zahlensystem wie jedes andere auch. Der einzige Unterschied besteht darin, dass es als Basis die Zahl 2 hat und damit nur die Ziffern 1 und 0 kennt. Besonders bekannt ist es dafür, in Computern verwendet zu werden. Jetzt steht natürlich zu Recht die Frage im Raum, warum man sich für einen Computer den Aufwand machen sollte, ein anderes Zahlensystem zu verwenden, wenn wir doch schon ein wunderbar funktionierendes haben.
Lustigerweise ist das Dezimalsystem, das wir schon als Kinder beigebracht bekommen und uns als vollkommen natürlich vorkommt, das für Computer das wohl ungeeignetste. Warum erscheint es uns dann aber so einfach? Wenn es angeblich so untauglich ist, warum lernen wir diesen Unsinn dann bereits in der Volksschule? Das ist leicht zu erraten, wenn man überlegt, womit man als Kind zählt. Mit den Fingern. Und spätestens jetzt ist klar warum es uns so logisch erschient, ein Zahlensystem mit der Basis 10 zu verwenden. Es hat alles damit zu tun, dass wir zehn Finger haben. Aber würde das heißen, dass, wenn wir nicht zehn, sondern zwölf Finger hätten, wir ein Zahlensystem mit der Basis zwölf verwenden würden? Ja. So lächerlich das auch klingen mag, die Wahl unseres Zahlensystems ist uns einfach von der Natur vorgegeben. Das muss sich aber nicht nur auf Finger beschränken. Es soll auch Völker gegeben haben, die mit einem Zahlensystem mit einer Basis von mehr als 200 gerechnet haben sollen. Die haben dann auch die einzelnen Zehenknöchel und Abschnitte der Arme verwendet. Der Nachteil davon: Wenn man irgendeine Zahl darstellen wollte, musste man fast einen Handstand machen. Wir haben da noch Glück. Wir können mit unseren Fingern ganz einfach Zahlen von 1 bis 10 darstellen und sogar eins und eins zusammenzählen.
Warum sollten wir also mit Fingern rechnen können und ein Computer nicht? Das liegt daran, dass man Zahlen nur sehr schwer durch Strom darstellen kann. Ein Ansatz wäre natürlich, dass man die Zahlen einfach als Spannungsherd annimmt. Für die Zahl 5 würden also 5 Volt fließen, für die Zahl 6 wären es 6 Volt. Das sieht doch eigentlich ganz in Ordnung aus. Jetzt wollen wir aber die Zahl 2016 darstellen und müssten dazu durch einen einzigen dünnen Draht 2016 Volt jagen. Das geht zwar auch noch, aber nur einmal und sehr kurz. Die Verbesserung des Systems liegt nahe. Man stellt die Zahl mit einzelnen Stellen dar. Wir haben also vier Drähte und durch keinen fließen mehr als 9 Volt. Das hört sich doch schon nach einer ganz anständigen Lösung an. Die Idee ist prinzipiell gar nicht schlecht. Hier stoßen wir nur unglücklicherweise auf eine weitere Hürde der Technik. Man müsste erst den Spannungswert messen. Das ist freilich ohne weiteres möglich aber es ist unnötig aufwendig.
Als bislang beste Lösung hat sich daher das binäre System durchgesetzt. Da es als Basis 2 hat, gibt es nur zwei verschieden Möglichkeiten, wie eine Stelle aussehen kann. 1 und 0. Das kann man in einem Schaltkreis wunderbar mit an und aus darstellen, ganz ohne Spannungsschwankungen oder den anderen oben angesprochenen Problemen. Und genauso wie im Dezimalsystem muss man mehrere Stellen verwenden, wenn man eine Zahl darstellen will, die größer/gleich der Basis ist. Man braucht aber meistens mehr Stellen als im 10er-System. Das liegt einfach an der kleineren Basis. Die Zahl 256, die man im Zusammenhang mit Computern oft hört, hat im Alltag nur drei Stellen. Im binären Zahlensystem brauchen wir aber schon acht Stellen. Das liegt daran, wie Zahlensysteme allgemein funktionieren.
Betrachten wir zunächst folgende Zahl: (1010)2
Der tiefgestellte Zweier gibt an, dass wir uns im dualen System (daher mit der Basis 2) befinden. Jetzt wollen wir uns ausrechnen welcher Zahl das im Dezimalsystem entspricht:
(x)10 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20
Das Muster ist recht einfach zu durchschauen. Die Ziffer an der n-ten Stelle nehmen wir mal der Basis hoch (n-1), wiederholen dieses Prozedere für alle anderen Ziffern und addieren sie dann. Wenn wir diese Rechnung in unseren Taschenrechner eintippen, wird er uns verraten, dass (1010)2 = (10)10. Jetzt wissen wir also wie ein Computer die Zahl 10 darstellen würde, aber wie ist es denn jetzt mit der Umkehrung? Was macht der Computer, wenn wir eine Zahl im Dezimalsystem eingeben und er sie aber im
binären System braucht? Das ist auch nicht weiter schwierig. Nehmen wir dafür die Zahl 42, die wir ins Dualsystem umrechnen wollen:
42 / 2 = 21 Rest: 0
21 / 2 = 10 Rest: 1
10 / 2 = 5 Rest: 0
5 / 2 = 2 Rest: 1
2 / 2 = 1 Rest: 0
1 / 2 = 0 Rest: 1
Auch hier steckt keine Hexerei dahinter. Man dividiert einfach immer durch die Basis und der Rest ist unser Ergebnis. Wichtig ist nur zu wissen, wie man das Ergebnis richtig liest: nämlich von unten nach oben. Damit wissen wir nun, dass (42)10 = (101010)2
Und jetzt, da wir wissen, wie man mit binären Zahlen umzugehen hat, verstehen wir auch den Witz vom Anfang. Die Frau denkt wie wohl die meisten Menschen im Dezimalsystem, ihr Mann, der Programmierer ist, ist geistig jedoch im Dualsystem und kauft nicht 10 sondern 2 Eier.

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